天才数学者たちが挑んだ最大の難問―フェルマーの最終定理が解けるまで

フェルマーの最終予想とは
べき乗ｎ≧３、x^n+y^n=z^n
の式に於いて、これを満たす自然数x,y,zが存在しないと言うものである（本書ではフェルマー最終定理と訳されているが、証明されるまでは定理ではないので拙評では最終予想と書く）。n=2であればピタゴラスの定理でこれを満たす自然数は無限にある（３、４、５が代表例。３^２＋４^２＝２５＝５^２）。ｎが３以上でも式の意味は中学生でもわかる。しかし、この証明に３００年以上もかかった。
全体は６章からなり、１章と６章は１９９３年から９４年にかけてのワイルズが証明を講演形式で説明し注目を集めた様子、第２章はフェルマーがこう言う予想を立てるまでの歴史（ピタゴラス教団の話や、メソポタミアの粘度板にピタゴラスの定理を満たす整数が記載されていたこと）などが書かれている。そして３～５章が、主にオイラーやガウス、ソフィ・ジェルマンから谷山豊、志村五郎に至るまで約２０名の数学者の業績のことが書かれている。
結局、フェルマー予想とは楕円曲線y^2=ax^3+bx^2+cx+dに関する問題に帰着し、楕円曲線がモジュラーの性質を持つと言う志村＝谷山予想と言う別の予想が証明されれば、自ずと証明されると言うことが２０世紀後半に分かった。フェルマー予想を証明したアンドリュー・ワイルズの業績は、実はこの志村＝谷山予想の一部（有理係数の準安定な楕円曲線と言う特殊なケース）を証明したのだが、フェルマー予想の証明についてはこの範囲の楕円曲線の証明で十分とのこと。

本書の最後を読むとワイルズの業績は多くの数学者の業績の上にあるとして、エルンスト・クンマー、バリー・メイザー、ゲアハルト・フライ、谷山豊、志村五郎の名前が挙げられている。これらの数学者の業績は更に遡って、オイラー、ガウス、ガロアらの業績に依存している。ピラミッドの頂点にワイルズが立ったイメージだが、ガウスを始め、２０世紀に至っても幾人かの有名な数学者たちはフェルマー予想を孤立した問題、と断じていた。多くの数学の定理を寄せ集めないとフェルマーの最終予想は証明出来なかったので、この結果は皮肉である。
本書のもうひとつの特徴は、谷山豊と志村五郎の業績を強調している点である。谷山は若くして自殺してしまったのだが、彼の業績は、フランス人の数学者でブルバギ数学者集団の一員でもあるヴェイユによって無視された。ヴェイユと彼の弟子セールは、谷山の親友で谷山の予想をより明確化する仕事に取り組んでいた志村の業績も楕円関数の枠組みから外しそうとした。一時期、この楕円関数に関する予想はヴェイユ＝谷山予想と呼ばれ、ヴェイユの意図かどうかわからないが、この様に自分の名前が冠されても特に異論は唱えなかった。サージ・ラングと言う数学者が、経緯を色々調べ、ヴェイユから自分はそう言う予想に関与したことはないと言質を取り、今では志村＝谷山予想と呼ばれている。
一応、図などで説明は出ているが、４章の後半からは、引用されている数学的な概念を理解するのは困難である。フェルマーの最終予想を切り口に西洋数学史を学ぶ、と言った観点で読むと良い本だと思う。

（参考）
結局、フェルマーの予想は背理法で証明されたのだが、その過程はこんな感じである。
①全ての楕円曲線はモジュラー形式（保型形式の一種）である（志村―谷山予想、未証明）
②ｎ＝３，４、５、７までフェルマー予想は証明されている
③ｘ＾ｎ＋ｙ＾ｎ＝ｚ＾ｎを満たすｎ、ｘ、ｙ、ｚが存在すればフライ曲線も存在する（ｘ、ｙ、ｚは自然数、ｎ≧３）（証明済）
④フライ曲線は楕円曲線の一種である（証明済）
⑤フライ曲線はモジュラーではない（証明済）
結局、これから①を証明すれば、フェルマーの最終予想は証明されたことになる。何故なら、フェルマー予想を偽と仮定すると③が成り立つ。しかし、これは④、⑤から楕円関数であってモジュラーではないとなる（ので、①が成り立つと背理法により矛盾する）。